Pengantar Statistika dan Data Analisis I

Mean, Median, Variansi dan Standar Deviasi dari Suatu Sampel

Pernahkan anda mendengar kata rata-rata? Saya percaya anda semua tau tentang rata-rata.
Lalu bagaimana dengan kata modus dan median? Saya yakin banyak yang mengenalnya, tapi mungkin cuma sebagian yang benar-benar paham artinya.
Sekedar berbagai pengalaman, saya beberapa kali menemui orang yang selalu teringat dengan kejahatan begitu mendengar kata modus…., saya tertawa kecil dalam hati, mentang-mentang tayangan buser, sergap dan sejenisnya yang lagi marak di televisi sering menyebutkan kata-kata “modus kejahatan” atau “modus baru kejahatan”.

Kembali ke rata-rata, jika anda mendapatkan harga ponsel nokia E63 di tiga toko sebagai berikut, di toko A harganya 3,9juta, di toko B harganya 3,9juta dan di toko C harganya 3,3 juta, saya yakin anda semua bisa menjawab bahwa harga rata-rata ponsel Nokia E63 adalah 3,7juta. Harga rata-rata diperoleh dari:

Tapi tahukah anda bahwa pengertian asli rata-rata tidak demikian, bahwa jika menurut pengertian asli rata-rata, maka harga rata-rata ponsel Nokia E63 adalah 3,9jt. Mungkin anda tidak percaya, tapi percayalah bahwa dahulu kala, istilah rata-rata adalah modus pada jaman sekarang, yakni nilai yang pling banyak muncul.

Baiklah saya berikan ilustrasi, jika dari 10 orang teman anda, 6 orang memakai ponsel merek Nokia, 2 orang memakai ponsel merek Sony Ericsson, dan sisanya memakai ponsel merek samsung dan motorola. Bisakah anda memberikan rata-rata dari ponsel yang dipakai teman anda? Tentu dengan istilah rata-rata jaman sekarang. Kali ini saya yakin anda tidak akan bisa, tapi jika anda bisa, tolong kasi tau saya, soalnya saya juga tidak bisa. Hehe….
Tapi dengan istilah rata-rata jaman dulu, yakni modus, maka rata-rata ponsel teman anda adalah Nokia. Okelah, mulai sekarang kita sepakati menggunakan istilah modus untuk rata-rata jaman dulu (anak muda jaman sekarang mennyebutnya rata-rata jadul kali ya), dan rata-rata untuk istilah rata-rata modern.

Mmmm….., sekarang kita memasuki wilayah formal dalam matematika nih, dimana kita mesti mendefinisikan sesuatu yang kita sepakati, oya, walaupun dalam bahasa inggris rata-rata artinya average, tapi pada umumnya rata-rata yang akan kita definisiikan ini lebih dikenal dengan istilah mean, dan mulai saat ini kita gunakan saja istilah mean saja oke….

Definisi 1.1
Misalkan kita memiliki n buah data dari sampel, yakni x₁,x₂,…,x_n
Maka mean (rata-rata) sampel adalah:

Dan median sampel adalah:
jika n ganjil

jika n genap


Mean biasanya diartikan sebagai perwakilan dari populasi, contohnya jika harga ponsel Nokia E63 bervariasi pada tiga toko seperti contoh sebelumnya, kita dapatkan mean harganya adalah 3,4jt, sehingga jika ada yang bertanya berapa harga Nokia E63 ke anda, maka anda tentu lebih senang mengatakan harganya 3,4jt ketimbang menyebutkan seluruh kemungkinan harga tadi. Mending kan kalo cuma harga di tiga toko, gimana coba kalo data ada 25 toko?? Cape deh…..
Contoh lain, jika hasil survey pengunjung blog adit38.wordpress.com ini menunjukkan bahwa usia anda rata-ratanya (mean) adalah 20 tahun, boleh dong saya berasumsi bahwa anda yang membaca tulisan tentang mean ini berusia 20 tahun. Kalo begitu, apakah anda sudah punya pacar? Belum? Kalo belum mau dong mendengar cerita saya (anda yang sudah pun tidak mengapa menyimak cerita saya).

Saya punya sahabat bernama Marwan, dia lulusan Universitas Gajah Mada, salah satu kampus terbaik di Indonesia. Sahabat saya mengadakan pesta perpisahannya yang akan melanjutkan sekolah lagi, sahabat saya mengundang saya bersama istri, pestanya diadakan di Jayakarta yang berada di kawasan pantai senggigi. Saya berpikir itu pasti bakal menjadi pesta yang sangat menarik, di kawasan pantai yang indah sambil menikmati sunset, romantis pasti, apalagi pantai senggigi sudah terkenal sampai ke manca negara.

Sayangnya istri saya lagi kuliah di Institut Teknologi Surabaya, dan kebetulan lagi penelitiannya tentang obat Malaria dari pohon garcinia (manggis) sedang tidak bisa ditinggal karena sering bolak-balik ke beberapa lab di kampus lain, diantaranya adalah Universitas Airlangga dan Universitas Brawijaya.
Padahal sayang juga ya, makanan di Jayakarta terkenal enak (mahal lagi), jatah istri saya bisa mubazir dong.
Sahabat saya cerita jika dia nanti ada 30 orang cewe yang rata-rata berusia 18 tahun di pestanya, jadi saya punya ide untuk mengajak teman saya yang jomblo kesana, teman saya itu bernama rox, kebetulan usianya 19 tahun. Teman saya sangat antusias mendengar bahwa nanti di pesta itu ada 30 orang cewe yang rata-rata berusia 18 tahun.

Sesampainya di pesta………..

Wajah rox cemberut, bahkan akhirnya rox emosi dan marah pada saya, rox mengatakan saya pembohong. Saya tidak bisa terima, dan menuntut kejelasan kenapa saya dikatakan pembohong. Dengan nada tinggi rox menceritakan bahwa cewe-cewe yang dia temui semuanya berusia tua, tidak ada yang berumur 18 tahun seperti yang saya katakan, bahkan semua yang dilihatnya adalah ibu-ibu yang membawa bayinya. Saya tidak bisa terima, saya mengatakan bahwa tuan rumah lah yang mengatakan begitu ke saya, jadi saya tidak bersalah.

Akhirnya kita berdua menemui sahabat saya itu dan menjelaskan duduk persoalannya, sahabat saya tersenyum, lalu menjelaskan ke kita berdua bahwa benar ada 30 orang cewe yang rata-rata berusia 18 tahun di pesta ini. Ucapan sahabat saya disela oleh rox, rox mengatakan bahwa tidak ada satupun cewe berusia 18 tahun yang ditemui. Sahabat saya lalu mengatakan “Saya mengundang 15 orang teman wanita yang semuanya berusia 35 tahun, dan mereka semua membawa anaknya yang semuanya perempuan berusia 3 tahun, silahkan dihitung sendiri berapa rata-ratanya”. Rox cuma melongo menyadari kebenaran kata-kata sahabat saya itu…., sayapun tersenyum kecil merasa tertipu.

Demikian isi cerita saya, apa yang anda bisa simpulkan dari cerita itu?
Yap betul ‼ Mean atau rata-rata bisa mengecoh anda, jadi jika suatu hari anda mendengar bahwa rata-rata pendapatan orang indonesia adalah 1juta/bulan, jangan langsung menyimpulkan kemiskinan sudah diatasi. Silahkan pikirkan hal-hal berikut juga:

1. Rata-rata orang indonesia menelpon 3menit/nelpon (iklan Flexi)
2. Dua dari Empat orang indonesia masih kekurangan kalsium (iklan Anlene)
3. Tujuh dari Sepuluh wanita indonesia menggunakan …. (iklan pembalut)

Tentu saya tidak mengatakan bahwa ketiga hal tadi tidak benar semua (dan juga tidak mengatakan ke3 hal diatas bisa langsung dipercaya), saya hanya mengajak anda berpikir bahwa rata-rata itu bisa mengecoh, apalagi jika didomplegi suatu misi politik, persaingan bisnis dan lain-lain. Apalagi rata-rata yang dimaksu bukan mean, tapi modus atau malah median.

Lalu anda bertanya, trus gimana dong??
Tenang, ada satu lagi jenis ukuran yang menyatakan seberapa besar perbedaan pada data sampel anda, ukuran ini dikenal dengan istilah standar deviasi dan variansi. Pada prinsipnya kedua ukuran itu sama saja, sama-sama mengatakan rata-rata perbedaan data sampel dengan meannya.
Seperti contoh mean umur wanita yang mengunjungi pesta sahabat saya tadi yang 18 tahun, tapi pada kenyataan fakta di lapangan menunjukkan semua wanita berumur jauh banget dari mean-nya, dengan kata lain rata-rata perbedaan data umur dengan mean umurnya besar banget.
Jadi semakin besar nilai standar deviasi dan variansi suatu sampel, semakin besar peluang kita tertipu dengan hanya melihat nilai mean.
Wah lagi-lagi kita mesti masuk ke formalitas dalam matematika, mau ga mau yach….

Definisi 1.2
Misalkan kita memiliki n buah data dari sampel, yakni x₁,x₂,…,x_n
Maka variansi sampel adalah:

Dan standar deviasi sampel adalah:

Disini n-1 disebut derajat kebebasan dari standar deviasi.

Sebagai contoh, misalkan beberapa para pakar handphone memberikan penilaian berikut pada ponsel Nokia 5220:

7.07    7.00    7.10    6.97    7.00

7.03    7.01    7.01    6.98    7.08

Mean sampel didapati:

Variansi sampel didapati

Sebagai akibatnya standar deviasi sampel didapati

Jadi didapat sampel mempunyai standar deviasi 0.0440 dengan 9 derajat kebebasan.
Demikian chapter pertama saya dalam proses mempelajari metode statistika, beberapa cerita-cerita diatas disuguhkan sebagai bumbu saja. Karena saya sebenarnya kurang pemahaman statistika-nya, tentu banyak sekali yang perlu diperbaiki (namanya juga lagi belajar), sekiranya saya boleh meminta koreksi, kritik dan sarannya dari semua pembaca blog ini, sebelumnya saya juga ucapkan terima kasih. Tulisan ini adalah orisinil buatan saya dengan referensi, bimbingan dan inspirasi dari beberapa pihak, tulisan ini diperbolehkan untuk disebarluaskan dengan syarat memasukkan nama saya sebagai penulisnya yach…