Subgrup

Misalkan G adalah sebuah Grup
Dan H adalah subhimpunan tak hampa dari G

Maka H dikatakan subgrup dari G jika H juga membentuk sebuah Grup dengan operasi yang sama dari G.

GRUP

GRUP

Sebelum kita membahas tentang Grup, diketengahkan terlebih dahulu definisi dari Sistem Matematika

Misalkan G adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi x.
G dengan operasi x dikatakan Sistem Matematika dan simbolkan dengan (G,x)

Sistem Matematika ini adalah struktur penting pada bidang aljabar pada khususnya dan natematika pada umumnya…., Sistem Matematika dengan syarat-syarat tertentu menarik untuk disimak, salah satunya adalah Grup.

Misalkan (G,x) adalah Sistem Matematika, maka (G,x) dikatakan Grup jika memenuhi:
1. Berlaku sifat assosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c di G maka ax(bxc) = (axb)xc
2. Punya unsur netral, tulis unsur itu e, dimana untuk semua a di G berlaku exa = axe = a
3. Setiap anggota G punya penetral, yakni setiap a di G, terdapat b di G sehingga axb = bxa = e

Definisi Operasi

Berikut ini adalah definisi operasi

Misalkan R adalah suatu himpunan
Pengaitan o dari RxR ke R dikatakan operasi di R jika o merupakan suatu pemetaan

Jadi bisa dibilang operasi adalah kasus khusus dari pemetaan

contoh:

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, dan o adalah pengaitan yang didefinisikan dengan
aob = 2ab (jadi a dan b dioperasikan menghasilkan bilangan real yang merupakan operasi perkalian standar a dan b yang dilipat duakan).

aob tidak mungkin dikaitkan dengan dua bilangan real karena perkalian standar merupakan suatu operasi juga.

Definisi Pemetaan

Berikut ini adalah definisi pemetaan.

Misalkan A dan B adalah himpunan
Pengaitan f dari A ke B dikatakan suatu pemetaan jika setiap unsur dari A dikaitkan dengan tepat satu unsur di B.

Pemetaan sering juga disebut fungsi.

contoh:

Misalkan A = {a,b,c} dan B = {x,y,z,w}
Pengaitan f dimana
a dikaitkan dengan x ditulis f(a) = x
b dikaitkan dengan z ditulis f(b) = z
c dikaitkan dengan x ditulis f(c) = x

Pada contoh diatas tidak masalah x merupkan hasil dari pengaitan a dan b, yang tidak boleh adalah a dikaitkan ke dua unsur di b