Gelanggang

Jika R adalah himpunan yang dilengkapi dengan 2 operasi, maka kita memiliki sistem matematika dengan 2 operasi, namakan operasi tambah (+) dan operasi kali (x), ditulis (R,+,x)

Sistem matematika (R,+,x) dikatakan gelanggang jika memenuhi sifat berikut
1. Terhadap operasi tambah (R,+) membentuk grup komutatif
2. Terhadap operasi kali, (R,x) memenuhi sifat assosiatif (ab)c = a(bc) untuk semua unsur a,b,c di R, dan terdapat unsur kesatuan 1 di R yang berbeda dari 0 (unsur netral (R,+)) dan bersifat 1a =a1 = a untuk semua a di R
3. Terhadapa operasi tambah dan kali bersama-sama (R,+,x) memenuhi sifat distributif: a(b+c) = ab+ac dan (a+b)c = ac+bc untuk semua unsur a,b,c di R.

Contohnya adalah bilangan bulat terhadap operasi tambah dan kali yang biasa kita kenal.
Selanjutnya Gelanggang (R,+,x) kita tulis R saja.
Selanjutnya akan diketengahkan beberapa tipe gelanggang

Jika R merupakan gelanggang, maka R kita katakan gelanggang komutatif jika terhadap operasi kali berlaku sifat komutatif: ab = ba.
Jika R merupakan gelanggang komutatif, maka R dikatakan daerah integral jika R tidak memuat pembagi nol, yakni unsur di R yang memenuhi ab = 0 berlaku a = 0 atau b = 0.
Jika R merupakan gelanggang komutatif, maka R dikatakan lapangan jika memuat balikan untuk setiap unsur taknol di R, yaitu untuk setiap a tak nol di R, maka terdapat b di R sehingga ab = ba = 1.

Iklan

5 comments on “Gelanggang

  1. Oya saya terlupa….

    Beberapa penulis emang dari awal tulisannya menyatakan bahwa gelanggang yang akan dibahas di tulisannya itu adalah yang unsur netral operasi tambah (nol) dan unsur netral operasi kali (satu) berbeda.

    Tapi sebenarnya ga masalah jika 0 = 1, contoh yang paling mudah adalah gelanggang yang terdiri dari unsur nol saja.

    Terima kasih atas komentarnya, saya sangat menghargainya.

  2. Saya coba kasi gambaran lagi

    1. Buku RINGS AND CATEGORIES OF MODULES karangan Frank W. Anderson dan Kent R. Fuller mengatakan bahwa dalam ring 1 tidak sama dengan nol.
    (definisi ring ada di halaman 10)

    2. Buku MODULES AND RINGS karangan John Dauns tidak mensyaratkan bahwa 0 harus berbeda dari 1.
    (definisinya ada di halaman 405)

    Saya kira penulis yang menginginkan dalam ring 1 dan 0 harus berbeda punya tujuan tertentu (yang positif tentunya), kalo saya dah nemu tujuan itu nanti saya coba kemukakan….

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s