Subgrup

Misalkan G adalah sebuah Grup
Dan H adalah subhimpunan tak hampa dari G

Maka H dikatakan subgrup dari G jika H juga membentuk sebuah Grup dengan operasi yang sama dari G.

Tapi definisi subgrup diatas terkesan mubazir…, bisa diperhatikan sifat assosiatif pada G, jelas sifat itu pasti berlaku pada H yang notabene merupakan subhimpunan dari G. Wong berlaku di G, ya mesti berlaku di bagiannya kan….
Oleh karena itu kadang untuk membuktikan H adalah subgrup dari G cukup dengan beberapa hal saja

Misalkan G adalah Grup dan H adalah subhimpunan tak hampa dari G, dengan operasi seperti di G, H membentuk subgrup dari G jika dan hanya jika
1. Setiap a dan b di H maka ab ada di H
2. Setiap a di H maka penetral dari a juga di H

Buktinya jika H adalah subgrup maka penyataan 1 dan 2 jelas terpenuhi.
Sebaliknya jika pernyataan 1 dan 2 dipenuhi, apakah H merupakan subgrup?
Perhatikan bahwa sifat assosiatif jelas terpenuhi, lalu H karena unsur di H punya penetral di H dan hasil kali keduanya ada di H, maka H punya unsur penetral yang sama dengan G. pernyataan kedua jelas terpenuhi langsung. QED

Kita juga bisa mengenali suatu subgrup dari sifat berikut

Misalkan G adalah Grup dan H adalah subhimpunan tak hampa dari G, dengan operasi seperti di G, H membentuk subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a dan b di H maka ac juga di H, dimana c adalah penetral dari b.

Sepert bukti sifat sebelumnya, jika H adalah subgrup, maka pasti setiap a dan b di H, maka ac di H juga dengan c adalah penetral b.
Sebaliknya jika untuk setiap a dan b di H berlaku ac di H dengan c adalah penetral dari b akan kita tunjukkan H subgrup G
Kita bisa memilih b = a, akibatnya ensur netral ada di H, kemudian jika kita memilih a = e maka setipa unsur di H akan memiliki unsur penetral di H juga. Dengan argumen yang sama dengan sifat sebelumnya maka sifat assosiatif juga dipenuhi. Akibatnya H adalah subgrup dari G. QED