Faktor Persekutuan Terbesar

Pada pembuktian di aljabar, sering mahasiswa melakukan kesalahan pembuktian. Biasanya kesalahannya pembuktian diakibatkan lemahnya pemahaman mahasiswa tentang definisi suatu objek di aljabar atau di matematika pada umumnya, atau lemahnya mahasiswa dalam memahami suatu teorema.


Sekarang mari kita bahas salah satu kesalahan yang terjadi di mata kuliah struktur alajabar (di beberapa tempat disebut juga alajabar abstrak) atau pada mata kuliah teori bilangan, kesalahan kali ini disebabkan dari kurangnya pemahaman pada suatu teorema. Kasus kali ini adalah tentang faktor persekutuan terbesar (FPB) atau disebut juga greatest common divisor (g.c.d).

Teorema:
Jika g adalah FPB dari a dan b, maka g = ka+mb untuk suatu k dan m adalah bilangan bulat (g kombinasi linier a dan b)

Kesalahan:
Teorema ini sering disalahgunakan oleh mahasiswa untuk membuktikan suatu FPB…., yakni saat ingin membuktikan z itu FPB dari c dan e, mereka cukup menunjukkan bahwa z = nc+we untuk suatu n dan w bilangan bulat !!

Ilustrasi:
Saat mencari FPB 8 dan 12, didapatkan 8 = -2(8) + 2(12), akibatnya FPB dari 8 dan 12 adalah 8…., padahal FPB dari 8 dan 12 sesungguhnya adalah 4 !!

Sebenarnya:
Perhatikan bahwa teorema cuma berlaku salah arah, jadi jika g suatu FPB dari a dan b, maka g kombinasi linier dari a dan b, tapi tidak berlaku sebaliknya. Jadi jika didapatkan fakta bahwa g kombinasi linier a dan b, tidak membuktikan g FPB dari a dan b, contohnya adalah ilustrasi diatas.

Iklan

8 comments on “Faktor Persekutuan Terbesar

  1. Betul juga..setuju..Mas Adit…
    Menurut Saya, mahasiswa suka kurang paham pernyataan dari jika-maka, ato jika-dan-hanya-jika..dsb, sdgkan teorema kan kebanyakan menggunakan bahasa logika spt itu

  2. Kesimpulan yang tepat dari ilustrasi tersebut adalah bahwa 8 habis dibagi FPB kedua bilangan tersebut. Jadi kita bisa nyatakan bahwa persamaan ax+by=d memiliki solusi bulat (x,y) jika dan hanya jika d habis dibagi FPB(a,b). Ini biasa disebut Identitas Bezout.

    Ada generalisasi menarik dari teorema tersebut, sebagai berikut: Persamaan a_1x_1+\ldots+a_nx_n=d memiliki solusi bulat (x_1,\ldots,x_n) jika dan hanya jika d habis dibagi FPB(a_1,\ldots,a_n). Ini dapat dibuktikan dengan induksi.

    • Wow terima kasih atas teoremanya mas, sy baru dengar identitas Bezout.
      Dengan teorema yg mas sampaikan, bisa disimpulkan bahwa
      jika d=ax+by dan d=1 maka FPB(a,b) pasti membagi d, dan krn d=1 maka mau ga mau d pasti FPB dari a dan b
      Terima kasih dah mampir

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s