Pada pembuktian di aljabar, sering mahasiswa melakukan kesalahan pembuktian. Biasanya kesalahannya pembuktian diakibatkan lemahnya pemahaman mahasiswa tentang definisi suatu objek di aljabar atau di matematika pada umumnya, atau lemahnya mahasiswa dalam memahami suatu teorema.
Sekarang mari kita bahas salah satu kesalahan yang terjadi di mata kuliah struktur alajabar (di beberapa tempat disebut juga alajabar abstrak) atau pada mata kuliah teori bilangan, kesalahan kali ini disebabkan dari kurangnya pemahaman pada suatu teorema. Kasus kali ini adalah tentang faktor persekutuan terbesar (FPB) atau disebut juga greatest common divisor (g.c.d).
Teorema:
Jika g adalah FPB dari a dan b, maka g = ka+mb untuk suatu k dan m adalah bilangan bulat (g kombinasi linier a dan b)
Kesalahan:
Teorema ini sering disalahgunakan oleh mahasiswa untuk membuktikan suatu FPB…., yakni saat ingin membuktikan z itu FPB dari c dan e, mereka cukup menunjukkan bahwa z = nc+we untuk suatu n dan w bilangan bulat !!
Ilustrasi:
Saat mencari FPB 8 dan 12, didapatkan 8 = -2(8) + 2(12), akibatnya FPB dari 8 dan 12 adalah 8…., padahal FPB dari 8 dan 12 sesungguhnya adalah 4 !!
Sebenarnya:
Perhatikan bahwa teorema cuma berlaku salah arah, jadi jika g suatu FPB dari a dan b, maka g kombinasi linier dari a dan b, tapi tidak berlaku sebaliknya. Jadi jika didapatkan fakta bahwa g kombinasi linier a dan b, tidak membuktikan g FPB dari a dan b, contohnya adalah ilustrasi diatas.
Good luck…..
Betul juga tuh…
Semoga terhibur http://hidup.wuu.jp/
Betul juga..setuju..Mas Adit…
Menurut Saya, mahasiswa suka kurang paham pernyataan dari jika-maka, ato jika-dan-hanya-jika..dsb, sdgkan teorema kan kebanyakan menggunakan bahasa logika spt itu
Terima kasih telah berkunjung
Kesimpulan yang tepat dari ilustrasi tersebut adalah bahwa 8 habis dibagi FPB kedua bilangan tersebut. Jadi kita bisa nyatakan bahwa persamaan ax+by=d memiliki solusi bulat (x,y) jika dan hanya jika d habis dibagi FPB(a,b). Ini biasa disebut Identitas Bezout.
Ada generalisasi menarik dari teorema tersebut, sebagai berikut: Persamaan
memiliki solusi bulat 
jika dan hanya jika 
habis dibagi 
. Ini dapat dibuktikan dengan induksi.
Wow terima kasih atas teoremanya mas, sy baru dengar identitas Bezout.
Dengan teorema yg mas sampaikan, bisa disimpulkan bahwa
jika d=ax+by dan d=1 maka FPB(a,b) pasti membagi d, dan krn d=1 maka mau ga mau d pasti FPB dari a dan b
Terima kasih dah mampir
wahhh,.,.aq gk mudeng jj,.,.,angel,.po mksude,..
sego mateng keprok
maap pak
Saia bingung
Bukan.a fpb dr 8 dan 12 to adalah 2 ia
Kenapa bpak bisa menyebtkan 8?
Bukan 2 atau 8 tapi 4