Aplikasi Aljabar: Menentukan Orbit Sebuah Asteroid

Aljabar Linier adalah salah satu mata kuliah yang relatif mudah di beberapa progam studi, tapi mungkin sebaliknya di progam studi matematika sendiri yang bisa dikatakan abstrak. Melalui tulisan ini saya mencoba memberikan sebuah aplikasi sederhana dari aljabar linier, yakni bagaimana menentukan orbit (lintasan) sebuah asteroid.

Faktor Persekutuan Terbesar

Pada pembuktian di aljabar, sering mahasiswa melakukan kesalahan pembuktian. Biasanya kesalahannya pembuktian diakibatkan lemahnya pemahaman mahasiswa tentang definisi suatu objek di aljabar atau di matematika pada umumnya, atau lemahnya mahasiswa dalam memahami suatu teorema.

Ideal

Berikut ini adalah definisi dari subhimpunan dari gelanggang yang membentuk suatu objek penting dalam matematika

Gelanggang

Jika R adalah himpunan yang dilengkapi dengan 2 operasi, maka kita memiliki sistem matematika dengan 2 operasi, namakan operasi tambah (+) dan operasi kali (x), ditulis (R,+,x)

Sistem matematika (R,+,x) dikatakan gelanggang jika memenuhi sifat berikut
1. Terhadap operasi tambah (R,+) membentuk grup komutatif
2. Terhadap operasi kali, (R,x) memenuhi sifat assosiatif (ab)c = a(bc) untuk semua unsur a,b,c di R, dan terdapat unsur kesatuan 1 di R yang berbeda dari 0 (unsur netral (R,+)) dan bersifat 1a =a1 = a untuk semua a di R
3. Terhadapa operasi tambah dan kali bersama-sama (R,+,x) memenuhi sifat distributif: a(b+c) = ab+ac dan (a+b)c = ac+bc untuk semua unsur a,b,c di R.

Matematikawan: Al-Khwarizmi (780-846 M)

Tokoh yang bernama lengkap Abu Ja’far Muhammad bin Musa Al-Khwarizmi (780-846 M) ini merupakan intelektual arab yang banyak menyumbangkan karyanya di bidang matematika dan dari buku terbitan pertamanyalah lahir kata Aljabar.

Subgrup

Misalkan G adalah sebuah Grup
Dan H adalah subhimpunan tak hampa dari G

Maka H dikatakan subgrup dari G jika H juga membentuk sebuah Grup dengan operasi yang sama dari G.

Aljabarnya Al-Khwarizmi

Ini adalah salah satu halaman dari buku aljabar Al-Khwarizmi yang berjudul Kitab al-jabr wa l-muqabala, ditulis sekitar tahun 825.
Gambar diatas diambil dari halaman 15 buku Al-Khwarizmi, dan kemudian diterjemahkan oleh Frederic Rosen dalam bukunya The Algebra of Muhammed ben Musa (London: Oriental Translation Fund, 1831), yang juga diterbitkan kembali dalam Islamic Mathematics and Astronomy di fakultas Sejarah Sains Islam-Arab pada Universitas Goethe.

Ruang Vektor

Apa yang anda pikirkan jika mendengar kata vektor?
Anda teringat panah-panah pada sumbu kartesian ato sumbu-xyz?
Atau anda teringat bahwa vektor itu besaran yang memiliki arah?

Lupakan tentang hal-hal diatas, vektor jauh lebih luas dari itu, berikut definisinya:

vektor adalah anggota dari suatu ruang vektor

Jadi vektor itu adalah elemen dari suatu ruang vektor, dan ruang vektor didefinisikan secara abstrak sebagai himpunan dengang operasi-operasinya yang memenuhi sifat-sifat tertentu.

Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (lapangan).

Penambahan itu kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V ke benda lain, yakni u + v dalam V, kita namakan jumlah u dan v.

Dengan perkalian skalar kita artikan aturan untuk mengsosiasikan setiap skalar k dan setiap benda v di V ke benda lain, yakni ku di V, kita namakan perkalian skalar u oleh k.

Kemudian V kita katakan suatu ruang vektor jika setiap u,v,w di V dan k, l merupakan skalar memenuhi aksioma-aksioma berikut.

GRUP

GRUP

Sebelum kita membahas tentang Grup, diketengahkan terlebih dahulu definisi dari Sistem Matematika

Misalkan G adalah suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi x.
G dengan operasi x dikatakan Sistem Matematika dan simbolkan dengan (G,x)

Sistem Matematika ini adalah struktur penting pada bidang aljabar pada khususnya dan natematika pada umumnya…., Sistem Matematika dengan syarat-syarat tertentu menarik untuk disimak, salah satunya adalah Grup.

Misalkan (G,x) adalah Sistem Matematika, maka (G,x) dikatakan Grup jika memenuhi:
1. Berlaku sifat assosiatif, yaitu untuk setiap a,b,c di G maka ax(bxc) = (axb)xc
2. Punya unsur netral, tulis unsur itu e, dimana untuk semua a di G berlaku exa = axe = a
3. Setiap anggota G punya penetral, yakni setiap a di G, terdapat b di G sehingga axb = bxa = e

Definisi Operasi

Berikut ini adalah definisi operasi

Misalkan R adalah suatu himpunan
Pengaitan o dari RxR ke R dikatakan operasi di R jika o merupakan suatu pemetaan

Jadi bisa dibilang operasi adalah kasus khusus dari pemetaan

contoh:

Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real, dan o adalah pengaitan yang didefinisikan dengan
aob = 2ab (jadi a dan b dioperasikan menghasilkan bilangan real yang merupakan operasi perkalian standar a dan b yang dilipat duakan).

aob tidak mungkin dikaitkan dengan dua bilangan real karena perkalian standar merupakan suatu operasi juga.