Ruang Vektor

Apa yang anda pikirkan jika mendengar kata vektor?
Anda teringat panah-panah pada sumbu kartesian ato sumbu-xyz?
Atau anda teringat bahwa vektor itu besaran yang memiliki arah?

Lupakan tentang hal-hal diatas, vektor jauh lebih luas dari itu, berikut definisinya:

vektor adalah anggota dari suatu ruang vektor

Jadi vektor itu adalah elemen dari suatu ruang vektor, dan ruang vektor didefinisikan secara abstrak sebagai himpunan dengang operasi-operasinya yang memenuhi sifat-sifat tertentu.

Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (lapangan).

Penambahan itu kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V ke benda lain, yakni u + v dalam V, kita namakan jumlah u dan v.

Dengan perkalian skalar kita artikan aturan untuk mengsosiasikan setiap skalar k dan setiap benda v di V ke benda lain, yakni ku di V, kita namakan perkalian skalar u oleh k.

Kemudian V kita katakan suatu ruang vektor jika setiap u,v,w di V dan k, l merupakan skalar memenuhi aksioma-aksioma berikut.

1. u+v = v+u
2. u+(v+w) = (u+v)+w
3. ada unsur 0 di V sehingga 0+u=u+0=u untuk semua u di V
4. Untuk setiap u di V, maka terdapat -u di V sehingga u+(-u)=(-u)+u=0
5. k(u+v) = ku+kv
6. (k+l)u = ku+kv
7. k(lu) = (kl)u = l(ku)
8. 1u = u

Keempat aksioma pertama mungkin mengingatkan anda pada Grup, kemudian 0 pada aksioma 3 kita namakan vektor nol

contohnya adalah Himpunan semua pasangan di koordinak kartesian dengan operasi jumlah dan perklaian skalar yang telah kita kenal